Introducción a la lógica difusa. Variables lingüisticas y lógica difusa (página 2)
Utilidad de las VL
Es una forma de comprimir información llamada granulación (granulation):
Una etiqueta incluye muchos valores posibles.
Ayuda a caracterizar fenómenos que o están mal definidos o son complejos de definir o ambas cosas.
Es un medio de trasladar conceptos o descripciones lingüísticas a descripciones numéricas que pueden ser tratadas automáticamente (Relaciona o traduce el proceso simbólico a proceso numérico).
Usando el principio de extensión, muchas herramientas ya existentes pueden ser extendidas para manejar variables lingüísticas, obteniendo las ventajas de la lógica difusa en gran cantidad de aplicaciones.
Definición formal
Una Variable Lingüística es un conjunto de 5 elementos:
< N, U, T(N), G, M>
N es el nombre de la variable.
U es el dominio subyacente.
T(N) es el conjunto de términos o etiquetas que puede tomar N.
G es una gramática para generar las etiquetas de T(N):
“muy alto”, “no muy bajo”, “normal”, “bajo y normal”….
M es una regla semántica que asocia cada elemento de T(N) con un conjunto difuso en U de entre todos los posibles:
M: T(N) ? F (U)
Funciones de Membresía
Granularidad
Es el número de valores que se definen para una variable linguistica
Normalmente se usa un conjunto pequeño de valores para una variable lingüística.
Granularidad fina (fine):
Define un gran número de valores para una variable lingüística.
Granularidad gruesa (coarse):
Define un pequeño número de valores.
Ejercicio 1
Diseñe las funciones de membresia para modelar las siguientes variables lingüisticas, indique las etiquetas que puede tomar:
Intensidad de pixel en una imagen de 8 bits.
Grado de conocimiento del profesor en la materia.
Grado de aprendizaje del alumno en la materia.
Grado de avance en el proyecto final del curso KDD.
Indique y especifique las funciones de membresía para cada caso.
MODIFICADORES LINGUISTICOS
Modificadores Lenguisticos
Los valores de una variable lingüística pueden ser:
Primarios
Compuestos
Los valores primarios son los valores inicialmente definidos
Un valor compuesto se obtiene anteponiendo a un valor primario modificadores linguisticos como MUY, NO, MAS O MENOS, …, o combinando valores primarios mediante conectivos lógicos AND, OR, NOT.
Modificadores Linguisticos
Cada modificador (hedge) es un operador H que transforma el conjunto difuso del término primario L al que afecta en otro conjunto difuso:
Modificadores Linguisticos:
Concentración.
Dilatación.
Intensificación del contraste.
Difuminación.
Operadores Lógicos:
NOT
AND
OR
1. Concentración
Se elevar la función de membresía primaría a un valor p, dado que p > 1.
MAS
µMAS F (u) = (µF (u) )1.5
MUY
µMUY F (u) = (µF (u) )2
2. Dilatación
Es la raiz n-ésima o elevar p, tal que p ? [0, 1]
MAS O MENOS
µMASOMENOS F (u) = (µF (u) )0.5
MENOS
µMENOS F (u) = (µF (u) )0.75
POCO
µPOCO F (u) = (µF (u) )0.75
3. Intensificación
Disminuir valores menores que 0.5 y aumentar los mayores.
ESPECIALMENTE
µESPECIALMENTE F (u) =
BASTANTE CERCA DE
µBASTANTE CERCA DE F (u) =
4. Difuminación
Aumentar valores menoras que 0.5 y disminuir los mayores.
CERCA DE
µCERCA DE F (u) =
CASI
µCASI F (u) =
Operadores Lógicos
Combinar valores mediante conectivos lógicos:
AND: t-norma (min)
OR : t-conorma (max)
NOT: complemento
Modificadores Linguisticos
Ejercicio 2
Sea U = {1,2,…,5} y el conjunto difuso pequeño definido como:
pequeño = {1/1 + 0.8/2 + 0.6/3 + 0.4/4 + 0.2/5}
Calcular:
Muy pequeño ={ /1 + /2 + /3 + /4 + /5}
Muy muy pequeño ={ /1 + /2 + /3 + /4 + /5}
Más o menos pequeño ={ /1 + /2 + /3 + /4 + /5}
Ejercicio 3
Considere la variable lingüística viejo, dado que la variables está definida por:
Determine la función de membresía de los terminos:
No muy viejo =
Mas o menos viejo =
Muy Viejo =
REGLAS DIFUSAS IF-THEN
Reglas IF – THEN difusas
Una parte del conocimiento humano es representado en terminos de reglas IF – THEN clásicas.
Este conocimiento también se puede hacer representar mediante reglas IF – THEN difusas.
Una regla IF – THEN difusa es una sentencia condicional expresada como:
IF < proposición difusa> THEN < proposición difusa>
Proposición Difusa
Existen dos tipos de proposiciones difusas:
Proposiciones difusas atomica.
Proposiciones difusas compuesta.
Una proposiciones difusas es una sentencia simple.
x es A, x es una variable lingüística y A es una conjunto difuso
Proposición Difusa
Una propisición difusa compuesta es una composición de proposiciones atomicas usando los conectivos AND, OR y NOT.
y es L y x es F, las variables linguisticas por lo general no son las mismas.
Las proposiciones difusas compuestas pueden ser entendidas como relaciones difusas y las Funciones de Membresía de las relaciones difusas son calculadas usando t-normas, s-normas y complementos.
Conectivos AND y OR
Use la intercepción difusa para el conectivo AND
y es B y x es A, es interpretado como la relación difusa:
A n B in U x V con funciones de membresía.
Use la unión difusa para el conectivo OR
y es B o x es A, es interpretado como la relación difusa:
A U B in U x V con funciones de membresía.
Conectivo NOT
Use el complemento difuso para el conectivo NOT
Sea la proposición difusa:
FP = (x es S y x es not F) o x es M
Entonces se puede diseñar una relación difusa con la siguiente función de membresía:
INTERPRETACION DE LA REGLA DIFUSA IF-THEN
Cuantificación de la Verdad
Obtener un conjunto difuso A tal que:
“X es Ai” es equivalente a ti = “X es A”.
El ti actúa como una restricción elástica: A(x) = ti (Ai (x)) ?x ? X
A(x) = Verdad (Ai (x)) = Ai (x); A(x) = Muy_Verdad (Ai (x)) = A2i (x);
A(x) = Falso (Ai (x)) = 1–Ai (x); A(x) = Más o menos (Ai (x)) =A0.5i (x);
Si ti = Falso, se está afirmando el hecho contrario. Por eso, podemos definir ti= Totalmente_Falso que toma el grado 0 en todo su universo [0,1], excepto para el valor 0, que toma grado 1.
Interpretación de la regla difusa IF-THEN
Formato General:
IF x es A entonces y es B
If x es A then y es B.
antecedente
o
premisa
consecuente
o
conclusión
Ejemplos
Si la presión es alta, entonces el volumen es pequeño.
Si el camino es deslizadizo, entonces el conducir es peligroso.
Si un tomate es rojo, entonces es maduro.
Si la velocidad es alta, entonces aplique un pequeño freno.
if pressure es high, then volume es small.
if the road es slippery, then driving es dangerous.
if a tomato es red, then it es ripe.
if the speed es high, then apply the brake a little.
Ejercicio 4
Diseñe 5 nuevas reglas difusas en los que los dominios subyacentes sean diferentes.
IF p THEN q
En el cálculo proposicional clásico (lógica clásica), la expresión IF p THEN q es escrito como p ? q donde la implicación ? es definida mediante la siguiente tabla.
A ? B ? If x es A then y es B
IF p THEN q
Aquí p?q es equivalent a (¬p V q) y a (p?q)V¬p, donde los simbolos representan operaciones logicas clásicas.
Las reglas difusas IF-THEN son formadas reemplazando los operadores clasicos por sus correspondientes operadores difusos.
Debido al número de operadores t-norma, s-norma y complemento existen varias interpretaciones de reglas difusas IF-THEN.
Reglas Difusas como Relaciones
If x is A then y is B.
?
R
Una regla difusa puede ser definida como una relación binaria con la siguiente función de membresía.
Depende de como se
interprete A ? B
A ? B
Implicaciones Conocidas
Implicación Dienes-Rescher
Implicación Lakasiewics
Implicación Zadeh
Implicación Godel
Implicación Mandani
Implicación Dienes-Rescher
Implicación Lakasiewics
Implicación Zadeh
Implicación Godel
Interpretación de reglas difusas IF-THEN
¿Qué criterio escogemos para combinar los operadores difusos t-norma, s-norma y complemento?
¿Son (¬p V q) y (p?q)V¬p aún equivalentes a p?q cuando p y q son proposiciones difusas?
Cuando p y q son proposiciones CRISP, p?q es una implicación global.
Cuando p y q son proposiciones DIFUSAS, p?q es una implicación local en el sentido que p?q tiene un valor de verdad grande unicamente cuando p y q tienen valores de verdad grandes.
En terminos lógicos la regla se convierte en p?q ? p ? q
Implicación Mandani
Interpretación de reglas difusas IF-THEN
Existen dos vías para interpretar “if x es A then y es B”
A
B
A vinculado con B
x
x
y
A acoplado con B
A
B
x
x
y
-B
-B
Implicación difusa
Implificación difusa
Ejemplo
Sea x1 la velocidad de un carro, x2 la aceleración e y la fuerza aplicada al acelerador.
Usando el producto algebraico para la t-norma en la primera proposición y la implicación Dienes-Rescher, encuentre la función de membresía de la siguiente regla difusa:
IF x1 es slow y x2 es small THEN y es large
Ejemplo
Las funciones de membresía de los conjuntos difusos son:
Ejemplo
Los dominios de x1, x2 e y son U1 = [0, 100], U2 = [0, 30] y V = [0, 3].
Usando el producto algebraico para la t-norma de:
FP1 = x1 es slow y x2 es small
Ejemplo
Para la implicación Dianes-Reschr la regla es interpretada como una regla difusa con función de membresía.
Ejemplo
El ultimo paso es convinar los resultados previo con
Ejemplo
La función de membresia es:
Ejercicio 5
Ejercicio 6
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